בן דבורה ומשה. נולד בשנת תרס"ח (1908) בטבריה. אביו, הרב משה קליערס, היה אב-בית-הדין של העדה האשכנזית בעיר, מייסד התלמוד-תורה ומקים ישיבת "אור תורה" על מקום קברו של רבי מאיר בעל הנס בטבריה. אלישע למד בתחילה בתלמוד-תורה, ואחרי-כן בישיבת "אור תורה" שהקים אביו. הוא גילה כשרונות מעולים והצטיין בלימודיו. אביו הוקירו מאוד, ובספריו הביא חילופי אגרות בעניין חידושי תורה בינו לבין בנו.
בשנת 1925 נשא אשה. הוא שילב תורה ודרך-ארץ : חילק את זמנו בין לימודי תורה לבין עבודה בעסקי הבנק של אחיו בצפת. הוא גם למד לימודים כלליים והשתלם בשפות הערבית והאנגלית. גם בעבודה ציבורית עסק : הצטרף ל"אגודת
ישראל" והיה פעיל בשורות צעירי האגודה. מטעמם נבחר כציר לוועידה הגדולה של "אגודת ישראל" בווינה.
בעיצומם של מאורעות אב תרפ"ט עמד לצאת בשליחות זו לחוץ-לארץ, וביום כ"ג באב תרפ"ט (29.8.1929) נסע להיפרד מאביו וממשפחתו. בדרך בין צפת
לטבריה התנפלו עליו ערבים ופצעוהו פצעים אנושים, ובאותו יום מת מפצעיו. הוא הובא למנוחות בבית-העלמין בצפת. הניח אשה הרה, בן ובת.
זכרו הונצח בספרים יזכור לקדושי אב תרפ"ט, הללי בת-עמי ומלחמה ושלום בארץ-ישראל.